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如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频( 五 )

生活经验勾股定理


证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上 。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形 。∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形 。同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A2+B2=C2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形 。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90° 。∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形 。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ，∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°，∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， A2+B2=C2 。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立 。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角 。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形 。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等 。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等 。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3） 。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形 。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。画出过点A之BD、CE的平行线 。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L 。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA 。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H 。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC 。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC 。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²； 。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2； 。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2； 。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的 。

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