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如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频( 四 )

生活经验勾股定理


另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），
在△ACD与△CBD中，
DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,
BC/AC=a/b,
BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,
∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例） 。
∴∠BDC=∠CDA 。
而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90° 。
由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90° 。（证毕）
要进行实际应用，那样就事半功倍
证法4
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
证法5
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
证法6
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
证法7
已知在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角
其他证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的 。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式 。有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证） 。

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