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如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频( 三 )

生活经验勾股定理


判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为 斜边的直角三角形 。
判定4：两个锐角 互为余角（两角相加等于 90°）的三角形是直角三角形 。
判定5：若两直线相交且它们的 斜率之积互为 负倒数，则两直线互相垂直 。那么这个三角形为直角三角形 。
判定6：若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形 。参考 直角三角形斜边中线定理
判定7：一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形 。
判定3和7的证明：
已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a=
c 。求证∠C=90°
证法1：
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=
AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC
AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD
（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立，∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB
∵∠BAC=30°，A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
直角三角形如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
证明勾股定理的逆定理运用了什么方法勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边 。
证明方法
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法
其中c为最长边: 如果a×a+b×b=c×c，则△ABC是直角三角形 。如果a×a+b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形 。如果a×a+b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形 。
勾股定理逆定理的证明: 1、反证法 令角C不是直角， 则a^2+b^2=c^2不成立， 所以矛盾， 所以角C是直角 。
2、勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2， 那么C边所对的角是直角 。3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2， 而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ， 比较两式得 ， COSB=0 ，
B=90度 。
已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90° 。
证法1：同一法 。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形 。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b 。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c 。
在△ABC和△A'B'C'中，
a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C' 。
因而，∠C=∠C'=90° 。（证毕）
证法2：余弦定理 。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证 。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab 。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90° 。（证毕）
证法3：相似三角形 。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角 。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A 。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c 。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c 。

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