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无理数包括什么数？和有理数有什么区别？

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有理数和无理数的本质区别在于：有理数与两个整数之比等价 ， 而无理数则与一个无限不循环小数等价 。
一、常见的有理数类型
常见的有理数类型有如下几种 。
1.整数：所有的整数都是有理数 。
2.小数：小数分类里的有限小数、无限循环小数都是有理数 。
【无理数包括什么数？和有理数有什么区别？】3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价 ， 就是与一个无限循环小数等价 。即 ， 分数化成小数的结果不是一个有限小数 ， 就是一个无限循环小数 。而这两种类型的小数都是有理数 ， 所以 ， 所有的分数都是有理数 。
【注】本文中的“分数”指的是分子、分母（分母不为0）都为整数的分数 。
值得注意的是 ， 在所有根式中 ， 如果根式开方后的结果能化为上面几种常见有理数的形式中的一种的话 ， 那么这个根式代表的实数也是有理数 。如：因为8的立方根等于2 ， -64的立方根等于-4 ， 所以8和-64的立方根都是有理数 。
二、常见的无理数类型
常见的无理数类型有如下几种 。
1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e等 。
2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等 。
【注】两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍是有理数 。两个无理数的和、差、积、商可以是有理数 ， 也可以是无理数 。
（1）无理数的和、差、积、商为有理数：如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等 。
（2）无理数的和差积商为无理数：π+e、π-e、πxe ， π/e 。
“无理数”的由来：
1、正方形的对角线的长度是不可度量的（若正方形边长是1 ， 则对角线的长度是根号2 ， 不是一个有理数）；
2、在圆中 ， 圆的周长与直径的比值叫圆周率 ， 圆周率 “?” 也是不可度量的数 ， 不是一个有理数；
这一不可度量性与毕达哥拉斯学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭 。
三、“数学前沿”课外补充
实数可以分为有理数和无理数 ， 对任意一个实数来说 ， 不是有理数就是无理数 ， 二者必居其一 。有理数和无理数是对全体实数的两个分类 。
虽然在实数范围内有理数和无理数都有无穷多个 ， 两者似乎是“同样多”的 。但从高等数学里的“测度论”的角度来理解的话 ， 无理数的测度要大于有理数的测度 ， 所以无理数要比有理数“多一些” 。如：根据测度论 ， 在闭区间[0,1]内 ， 有理数的测度为0 ， 而无理数的测度为1 。所以 ， 在闭区间[0,1]内 ， 无理数的个数要“远多于”有理数的个数 。

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