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余数问题是一个重要的数学问题 ， 是计算机密码学的基石之一 。世界著名的数学家欧拉、高斯等人 ， 都曾经研究过这个问题 。欧拉重新发现了这个定理（欧拉定理） ， 给出了证明并定义了欧拉函数 。对正整数n ， 欧拉函数φ (n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目 。此函数以其首名研究者欧拉命名 ， 它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function ， 由西尔维斯特所命名） 。例如φ(8)=4 ， 因为1,3,5,7均和8互质 。
在数论中 ， 欧拉函数是最重要也是最基础的一个函数 ， 这个函数的很多性质及其证明虽然基础 ， 但也"烧脑" ， 家里没有要搞奥数的牛娃 ， 就不要折磨脑细胞 ， 咱们背背诗轻松解决好了 。
除了用于点兵 ， 欧拉定理更是非对称加密（RSA）算法的核心 。欧拉关于数论的大部分工作也是在柏林完成的 ， 他的数论著作在他的《全集》中占了整整四大卷 ， 占全部著作的40% ， 仅这四卷数论著作就足以使欧拉位列历史上最伟大的数学家之一 。
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普鲁士的腓特列大帝曾想组成这样一支仪仗队 ， 仪仗队共有36名军官 ， 来自6支部队 ， 每支部队中 ， 上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名 。他希望这36名军官排成6×6的方阵 ， 方阵的每一行 ， 每一列的6名军官来自不同的部队并且军衔各不相同 。
令他恼火的是 ， 这些军官怎么绞尽脑汁也排不成 。都说三个臭皮匠 ， 赛过诸葛亮 ， 但是在数学问题上 ， 几千几万个臭皮匠都不顶用 。没法 ， 腓特列大帝只能向数学大牛牛欧拉求救 。
欧拉先从最简单问题入手 ， 当n=3 (即有3种部队、3种级别)的方阵 ， 他很轻松排出来 ， 然后是n=4 ， n=5. 都很轻松就解出 ， 得出的方阵叫欧拉方阵（又叫做正交拉丁方阵） 。但是当n=6 时 ， 欧拉发现这是一个不可能完成的任务 。
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1782年 ， 欧拉总结道:"我已经试验研究了很多次 ， 我确信不可能作出两个六阶的 ， 并且对于10、14 ， …以及奇数2倍的阶数都是不可能的 。"欧拉认为:4n + 2阶欧拉方阵不存在 ， 这被后人称为"欧拉方阵猜想" 。
在没有计算机的年代 ， 欧拉方阵猜想的证明非常困难 。一直到了1910年 ， 一对兄弟俩 ， 法国数学家加斯顿?塔里和赫伯特?塔里用了最笨的方法 ， （不知道他们哪里来的耐心） ， 穷举出了全部六阶拉丁方 ， 从而证实了n=6时欧拉猜想是正确的：n=6 时 ， 仪仗队是一个不可能完成的任务 。看到没？ 最笨的方法也可以在数学史上留名啊 ， 真是世上无难事 ， 只怕有心人 。（现在用计算机已经知道 ， 除了n=2,6以外 ， 其余的正交拉丁方阵都存在 ， 而且有多种构造的方法 。这个否定的结果是人们在180年的努力中未曾想到的 。）
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欧拉恒等式 ， 欧拉常数 ， 欧拉示性数等
欧拉方阵体现着数学的美：整齐、对称、有规律、简单、自然… ， 欧拉方阵在工农业生产 ， 统计、组合设计、模拟、数值积分中均具有广泛的应用；另一方面 ， 欧拉方阵在数学的发展中也有着重要的作用.但是 ， 最要紧好玩 。欧拉没料到 ， 后人居然把欧拉方阵能玩出花来 ， 成为一种从9-99岁的人都无法抗拒的经典数字游戏 。欧拉方阵从瑞士起源 ， 接着在日本推广 ， 后来在英国发扬光大 ， 最终风靡全世界 ， 有了另一个简单好听的名字 ， 数独 。其实欧拉方阵就是没有宫的标准数独 ， 而数独其实正是一种特殊的欧拉方阵 。
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