韩信点兵数学故事( 三 )

接着从中筛选出"用3除余2"的数，就是挑出符合下面"带余除法"表达式x=3n+2
的数，这里n可取0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … 再继续做下去. 对整个问题寻找规律，：今有物不知其数，二二数之剩1 ，三三数之剩2 ，四四数之剩3 ，五五数之剩4 ，六六数之剩5 ，七七数之剩6 ，八八数之剩7 ，九九数之剩8 ，问物几何？
②寻找规律，设问题中，需要求的数是x ，则x被2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9去除，所得的余数都是比除数少1 ，于是我们把被除数x再加1 ，则x+1就可被2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9均整除。也就是说， x+1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。X+1=2520k,k=1,2,3….
怎么解决韩信点兵问题呢？设士兵为x人，则x=3a+2,x=5b+3,x=7c+2,a、b、c为正整数，观察可得x-2=21n,n为正整数，当n=1,2,3,…,x=23,44,65,…,23被5除余3 ，所以满足条件的最小人数为23人， x=[3,5,7]k+23=105k+23,因为已经伤亡四五百人，所以1000＜105k+23＜1100,k=10,x=1073.
牛气的韩信熟知余数问题，所以快速统计出自己队伍的人数然后迅速制定作战策略，小伙伴们，你的数论知识现在能不能快速帮你解决些实际问题呢？
1.　一个数在200与400之间，它被3除余2 ，被7除余3 ，被8除余5 ，求该数。
（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k ，取k＝-5得该数为269 。）
2. 一个数除以5余4 ，除以7余1 ，除以3余2 ，这个数不超过100 ，求这个数？
（解：（3*7）*4 + （3*5） + （5*7）= 134 。这个数小于100 ， 134— 105= 29 。）
古代的算法在我国有许多名称，如"韩信点兵" ， "鬼谷算" ， "隔墙算" ， "剪管术" ， "神奇妙算"等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。著作中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，一般认为这是三国或晋时的著作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。

文章插图
《孙子算经》中是这样给出这类问题的解法："三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。
1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中"物不知其数"一题的方法推广到一般的情况，得到称之为"大衍求一术"的方法，在《数书九章》中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，被称为"孙子定理"或"中国剩余定理" 。
对于我国古代数学名著《孙子算经》中有"物不知数":今有物不知其数，三三数之剩2 ，五五数之剩3 ，七七数之剩2 ，问物几何？如何解析？

韩信点兵数学故事( 三 )

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