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平行线的判定及其性质 平行线判定定理

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提要
平行线的判定及其性质是初中几何的基本内容 ， 是进一步研究几何问题的基础 ， 难点主要有两个方面：一个是“三线八角”识别 ， 这是正确运用性质与判定的基础；另一个是性质与判定的区分 。
知识全解
一．平行线
（1）概念：在同一平面内 ， 不相交的两条直线称为平行线 ， 用符号“‖”表示 ， 在同一平面 ， 两条直线的位置关系只有两种：相交或平行 。
（2）基本性质
①经过直线外一点 ， 有且只有一条直线与已知直线平行
②如果两条直线都和第三条直线平行 ， 那么这两条直线也互相平行 ， 即a‖b ， c‖b ， 那么a‖c 。
二．平行线的判定、
（1）同位角相等 ， 两直线平行 。
（2）内错角相等 ， 两直线平行 。
（3）同旁内角互补 ， 两直线平行 。
三．平行线的性质
（1）两直线平行 ， 同位角相等 。
（2）两直线平行 ， 内错角相等 。
（3）两直线平行 ， 同旁内角互补 。
提示：平行线的性质是两直线平行以后才有角之间的关系 ， 而平行线的判定是在已知某些角之间的关系条件下 ， 得到两直线平行的结构 。为了有效区分性质与判定 ， 可记住下列口诀：“已知平行用性质 ， 要证平行用判定” 。
【平行线的判定及其性质 平行线判定定理】 方法点拨
类型1 判定两条直线位置关系
例1 如果所示 ， PE平分∠BEF ， PF平分∠DFE ， ∠1=35度 ， ∠2=55度 ， AB与CD平行吗
【分析】由PE与PF分别为角平分线 ， 得到两对角相等 ， 根据∠1与∠2的度数 ， 求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180度 ， 利用同旁内角互补两直线平行即可说明 。
【解答】AB‖CD ， 理由如下：
∵PE平分∠BEF ， PF平分∠DFE ， ∠1=35度 ， ∠2=55度
∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF ， ∠2=∠PFD=1/2∠EFD
∴∠BEF=70度 ， ∠EFD=110度 ， 即∠BEF+∠EFD=180度
∴AB‖CD
【点评】解答这一类问题的关键是将条件转化为同旁内角 ， 再判定 。
类型2 判定角度之间的关系
例2 如图所示
E在直线DF上 ， B在直线AC上 ， 若∠AGB=∠EHF ， ∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系 ， 并说明理由
【分析】因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF ， 所有∠DGF=∠EHF ， 则BD‖CE ， ∠C=∠ABD ， 又因为∠C=∠D ， 所有DF‖AC ，  ， 所以DF‖AC ， 故∠A=∠F
【解答】∠A=∠F ， 理由如下
∵∠AGB=∠DGF ， ∠AGB=∠EHF
∴∠DGF=∠EHF
∴BD‖CE
∴∠C=∠ABD
又∵∠C=∠D
∴∠D=∠ABD
∴DF‖AC
∴∠A=∠F
【点评】解答这类问题可采用两种思考方式 ， 一种是根据条件逐步推出结论 ， 另一种是根据结论逆向思考 ， 寻求解答所需的条件 ， 再结合已知条件解答 。
类型3 添加平行线求角度
例3 如图所示 ， 
AB‖EF ， BC⊥CD于C ， ∠ABC=30度 ， ∠DEF=45度 ， 则∠CDE等于（）
A.105度 B.75度 C.135度 D.115度
【分析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直 ， 还给出了两个具体角的大小 ， 但与要求的角无直接关系 ， 可考虑添加平行线将问题转化 ， 过点C和D作平行线 ， 将要求的角转化到两个已知角中 。
【解答】过点C作CM‖AB ， 过点D作DN‖AB
又∵AB‖EF
∴AB‖CM‖DN‖EF
∵AB‖CM ， ∠ABC=30度 ， 则∠BCM=30度
又∵BC⊥CD ， 则∠BCD=90度
∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度
∵CM‖DN
∴∠MCD=1=60度
∵DN‖EF
∴∠DEF=∠2=45度 ， 即∠CDE=∠1+∠2=60+45=105度
故选A
【点评】熟练掌握平行线的条件和特征 ， 并能灵活运用是求解本题的关键 ， 充分运用条件 ， 及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提 。对于两条平行线间“折线”与“拐角”问题 ， 一般是在拐点处作平行线 ， 从而构造出一些相等的角或互补的角 ， 将问题转化 。
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