为什么只有方阵才能讨论其可逆性
因为含有逆矩阵的前提条件为必须为矩阵 。设A为数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵 。注:E为单位矩阵 。
性质定理
1、可逆矩阵一定是方阵 。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的 。
3、A的`逆矩阵的逆矩阵还是A 。记作(A-1)-1=A 。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T(转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律 。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C 。
为什么伴随矩阵和可逆矩阵都必须是方阵呢根据定义,伴随矩阵需要求出余子式,余子式本质是行列式,只有方阵才能求行列式 。
可逆矩阵是相乘为单位矩阵的矩阵,AB=BA=I,只有方阵才能满足这个条件 。
方阵都是可逆矩阵吗问题一:可逆矩阵一定要是方阵吗? 线性代数书上定义:对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的 。这个概念下必须是方阵,我们开始学的就是只有方阵 。如果你学习深入的话,考虑广义逆,则可以是m*n的 。
问题二:是不是所有矩阵都可逆 不是 。
首先,只有方阵才可能可逆,不是方阵的矩阵无从谈他的逆 。
其次,即使是方阵也未必可逆,因为矩阵可逆的充要条件之一是其行列式不为0,当矩阵的行列式等于0时,矩阵一定不可逆 。
问题三:可逆矩阵一定是方阵吗 线性代数范围内可逆矩阵是对方阵而言的
另外还有 左逆和右逆的概念钉即当A,B 分别为 m*s, s*m 的非零矩阵, 且 AB=Em 时,
称A右可逆, B为A的右逆
问题四:矩阵的幂只对方针有定义吗?若矩阵可逆但不是方阵满足方阵幂的计算吗 第一,可逆矩阵只是针对方阵来说的,不是方阵的矩阵,不存在可逆不可逆的概念 。
第二,根据矩阵相乘的规则,左边的矩阵列数等于右边矩阵的行数的时候,才能相乘 。那么矩阵的幂,是矩阵自己和自己相乘,根据矩阵乘法的原则,就要求左边矩阵(自己这个矩阵)的列数等于右边矩阵(还是自己)的行数 。即能自己相乘的矩阵必须满足列数等于行数的要求 。也就是必须是方阵 。
问题五:判断下列方阵是否可逆,可逆时,求其逆矩阵 第5题不可逆,因为行列式为0
第6题可逆,过程:
第7题,也可逆,
1 0 0 0 1 0 0 0
a 1 0 0 0 1 0 0
a^2 a 1 0 0 0 1 0
a^3 a^2 a 1 0 0 0 1
->
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -a 1 0 0
0 a 1 0 -a^2 0 1 0
0 a^2 a 1 -a^3 0 0 1
->
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -a 1 0 0
0 0 1 0 0 -a 1 0
0 0 a 1 0 -a^2 0 1
->
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -a 1 0 0
0 0 1 0 0 -a 1 0
0 0 0 1 0 0 -a 1
【为什么只有方阵才能讨论其可逆性】因此逆矩阵是
1 0 0 0
-a 1 0 0
0 -a 1 0
0 0 -a 1
为什么只有方阵才有逆矩阵存在设A为m*n
矩阵
,m≠n 。有两种可能:
(1)
m>n 。设A有
逆矩阵
P,则AP=E,其中E为单位
方阵
且行数=A的行数=m,即E为m阶单位方阵 。所以
m=rank(E)=rank(AP)
<=min{rank(A),rank(P)}<=rank(A)
<=min{m,n}=n,
矛盾;
(2)
mn=rank(E)=rank(PA)
<=min{rank(P),rank(A)}<=rank(A)
<=min{m,n}=m,
矛盾
为什么不是方阵就没有逆矩阵比如A是3行两列的 B是两行三列的 AB是三行三列的BA是两行两列的都是E啊:
首先对于任意的A(3*2),满足AB=E的矩阵B可能还存在并唯一,但满足BA=E的矩阵B一般是不唯一的 。再说此B非彼B 。
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