什么矩阵可以相似对角化
n阶矩阵要能对角化，要求能找到n个不相关的特征向量 。如果矩阵的n个特征值都不相同，那么一定能对角化 。（不同特征值对应的特征向量一定不相关）
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵 。如果一个方块矩阵A相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P（-1）AP是对角矩阵，则它就被称为可对角化的 。如果V是有限维度的向量空间，则线性映射T：V→V被称为可对角化的，如果存在V的一个基，T关于它可被表示为对角矩阵 。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程 。
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的'特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂 。
若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和 。
可以相似对角化的矩阵一定是实对称矩阵吗不一定 。
【什么矩阵可以相似对角化】例如 没有重特征值的非对称矩阵可以对角化 。
即便有重特征值，只要有 n 个线性无关特征向量的非对称矩阵也可以对角化 。
什么矩阵可以对角化,它的r满足什么条件n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵 。
如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数 。
文章插图
现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的.在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即Aa=λa.
假设一种特殊的情形,A有n个不同的特征值λi,即Aai=λi*ai.令矩阵P=[a1 a2 ... an]这样以来AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B,其中B是对角阵.B＝λ1 0 0 ...0 λ2 0 ...... ... ... ...0 0 0 λn
由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么P是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是A＝P*B*P-1 ,这也就是A相似与对角阵B定义了.
文章插图
在这个过程中,A要能对角化有两点很重要：P是怎么构成的?P由n个线性无关的向量组成,并且向量来自A的特征向量空间 。
如果A由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成P 。
但是如果A有某个λ是个重根呢?比如λ＝3,是个3重根.我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解.如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么A就不能对角化了,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在 。
如何判断一个矩阵是否可以相似对角化1°先看是不是实对称矩阵，如果是可以对角化，如果不是看第二步
2°算矩阵的特征值，如果特征值都不同，则可以对角化，若特征值有重根再看第三步
3°算有重根的特征值对应的特征多项式的秩，如果秩等于矩阵的阶数减去重数，也就是这个公式r(λiE-A)＝n-ni，相等则可对角化，不等则可以判断该矩阵不能对角化
按上面三步一定可以判断出，也是做题最节约时间的步奏
什么条件下矩阵可以相似对角化n阶矩阵要能对角化，要求能找到n个不相关的特征向量 。
如果矩阵的n个特征值都不相同，那么一定能对角化 。（不同特征值对应的特征向量一定不相关）
如果矩阵存在多重特征值（可理解为几个相同的特征值） 。那么就要具体看这个r重的特征值能否找到r个无关的特征向量了？可以的话，仍可对角化，如果找不到，那么就不可对角化 。
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