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高中数学必修：常用一般幂函数的概念、图象和性质

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1、幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合 。
例1、已知幂函数，且当时为减函数 。求幂函数的解析式 。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质 。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键 。
解答：由于为幂函数，
所以，解得，或 。
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为常函数，不合题意，舍去 。
故所求幂函数的解析式为 。
2、幂函数的图象和性质
图象：
性质：
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
【高中数学必修：常用一般幂函数的概念、图象和性质】（2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数；
（3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数 。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数 。
例2、比较，，的大小 。
分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小 。
解答：
而在上单调递增，且
，
。故 。
例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围 。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题 。
函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和上都是递减函数 。一般地，形如的函数都可以通过对的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到 。
解答：由于
，所以函数的图象是由幂函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示 。
其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有 。
例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值及其单调区间 。
分析：首先根据幂函数的定义求出，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间 。
解答：设，因为点在的图象上，所以，所以，即；
又设，点在的图象上，所以，所以，即 。
在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有
。
根据图象可知函数的最大值等于，其单调递增区间是（，－1）和（0，1）；单调递减区间是和 。
例5、已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论的奇偶性 。
分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值 。讨论的奇偶性时要注意对字母的讨论 。
解答：由在上是减函数得， 。∵，0，1 。
又因为是偶函数，∴只有当时符合题意，故 。
于是
，
。
当且时，为非奇非偶函数；
当且时，为奇函数；
当且时，为偶函数；
当且时，为既奇又偶函数 。
例6、已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数 。
（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，设函数 。问是否存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 。
分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值 。第二问可根据复合函数单调性的规律来解 。

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