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什么是正态分布？正态分布中的σ又指的是什么？

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什么是正态分布
正态概率分布是连续型随机变量概率分布中最重要的形式 ， 它在实践中有着广泛的应用 。在生活中有许多现象的分布都服从正态分布 ， 如人的身高、体重、智商分数；某种产品的尺寸和质量；降雨量；学习成绩 ， 特别是 ， 在统计推断时 ， 当样本的数量足够大时 ， 许多统计数据都服从正态分布 。下面以人的身高为例 ， 通俗解释一下什么是正态分布？
随机抽取200位同等年龄上下的男性 ， 测量好他们的身高之后计算出平均身高 ， 通过将平均身高和他们各自的身高对比 ， 我们可以轻松发现这一现象：大多数男性的身高都集中在平均身高上下浮动 ， 有极少数男性身高很矮 ， 也有极少数男性身高很高 。这200为男性身高的概率密度函数可能如下图所示：
实际上 ， 这种形状十分常见 ， 应用很广泛 ， 它叫做正态分布 。
【什么是正态分布？正态分布中的σ又指的是什么？】正态分布中的σ指的是方差 。σ描述正态分布资料数据分布的离散程度 ， σ越大 ， 数据分布越分散 ， σ越小 ， 数据分布越集中 。
正态分布的概率密度函数
正态分布之所以被称为正态 ， 是因为它的形态看起来合乎理性 。在现实生活中 ， 遇到测量值之类的大量连续数据时 ， 正常情况下都会期望看到这种形态 。正态分布的概率密度函数的计算公式如下：
其中μ＝均值 ， σ＝标准差 ， π＝3.14159 ， e＝2.71828 。如果随机变量X符合上述概率密度函数的分布 ， 则称X是服从参数为μ ， σ2的正态分布 ， 记为X～N(μ ， σ2) 。
正态分布的概率密度函数具有下列性质；

  1. 以x＝μ为对称轴的对称分布；
  2. σ2指分散性 ， σ2值越大 ， 正态分布的曲线越扁平、越宽；
  3. 以x轴为渐近线；
  4. 若随机变量X1,X2…,Xn皆服从正态分布 ， 且相互独立 ， 则对任意几个常数a1,a2,…,an(不全为0) ， Z=a1X1+a2x2+……+anXn也服从正态分布
正态分布求概率
但是在正态分布中求概率是非常困难的 ， 提供包括所有不同的μ和σ的正态分布表也是不可能的 。所以统计学家通过一种简单的方法来解决这一问题 。对于一个随机变量X～N(μ ， σ2) ， 如果令Z=(x-μ)/σ（标准分） ， 则随机变量Z服从μ=0,σ2=1的正态分布 ， 记为Z～N(0,1) ， 称为标准正态分布 。
标准正态分布的概率密度函数为：
通过上式可以看出标准正态分布不再依赖于参数μ和σ ， 它是固定的 ， 是唯一的 。因此 ， 标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系被计算出来 ， 并列为标准正态概率分布表 ， 以便查询 。于是 ， 对于不同的μ和σ ， 只要将变量值转化为Z值 ， 然后查表即可得到其概率值 。
标准正态概率分布表
例子：已知研究生完成一篇硕士论文的时间服从正态分布 ， 平均花费2500h ， 标准差为400h ， 现随机找到一个已完成论文的学生 ， 求：
（1）他完成论文的时间超过2700h的概率；
（2）他完成论文的时间低于2000h的概率；
（3）他完成论文的时间在2400h～2600h之间的概率 。
解：用X表示完成论文的时间 ， 则X～N(2500 ， 400*400) 。这是非标准的正态分布 ， 如果直接计算概率是非常麻烦的 ， 我们首先将其转化为标准正态分布 ， 然后通过标准正态分布表查出变量的概率值 。

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