毕达哥拉斯人感到震惊的是 ， 发现单位平方的对角线不能表示为整数的比率 。这一发现代表了算术和几何数学域之间的根本性断裂：由于希腊人仅识别整数和整数之比 ， 因此结果意味着没有数字可以描述单位平方的对角线 。
证明：
证明无理数通常的方式是假设√ 2它可以表示为两个整数P / Q之比 ， 通过简单的算术参数 ， 表明这导致矛盾 。1950年左右 ， 美国数学家斯坦利·特南鲍姆（Stanley Tennenbaum）发现了√2 的无理性的巧妙证明 。尽管他告诉许多其他人 ， 但他从未发表过该结果 。
我们首先回顾毕达哥拉斯的定理 ， 即a2 b2=c2 ， 其中a ， b和c是直角三角形的边 ， 而c是斜边 。如下图所示（左图） ， 考虑等腰三角形就足够了 。该定理意味着两个较小的蓝色正方形的面积加起来等于较大的红色正方形的面积 。
假设三角形的边长是整数m和n 。然后 ， 该定理意味着m2 m2=n2 ， 如右面板所示 。但这意味着2m2=有n2 ， 给出√2 = n / m ， 即两个整数的比 。
现在 ， 如果有两个这样的整数m和n ， 则必须有两个最小的数字 ， 其属性为2m2= n2 。我们可以假设m和?都 已经被选定为具有这种特性的最小数字 。
Tennenbaum的聪明想法是将面积为m2的两个较小的正方形拟合为面积为n2的较大正方形 。如下图所示（左面板） 。当然 ， 两个较小的正方形必须重叠（如果不重叠 ， 则将有m2 m2<n2） 。重叠区域是边2 m–n的正方形 。因此 ， 由于该区域被覆盖了两次 ， 因此它必须具有与省略的区域相同的面积 ， 即两个红色正方形的面积
但是现在我们产生了两个相同的正方形（n–m边） ， 它们的面积加起来等于2m–n边的面积 。这两个红色方块加起来是紫色方块：
2（n–m）2=（2 m–n）2 。
这与m和n为最小值的假设相矛盾 。不可避免的结论是 ， 不存在这样的数字m和n 。
【√2等于多少怎么算 根号2等于多少】另一个几何证明
下图说明了√2的非理性的另一个几何证明 。假设ABC是等腰直角三角形 ， 等边线为m ， 斜边为n 。与Tennenbaum的论点一样 ， 假定这些是存在这样的三角形的最小整数 。
绘制一个以C为中心 ， 半径为m的圆弧 ， 以在D处切割AC面 。然后在D处切线 ， 在E处切割AB面 。很容易看出 ， 较小的三角形ADE（彩色）类似于ABC ， 并且具有如图所示 ， 较小的整数边 。这与假设相矛盾 ， 证明没有这样的三角形可以存在 。
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