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如何反函数求导，反函数的9种方法

生活经验反函数

求反函数的9种方法
求反函数的方法只有1种 。那就是反解方程，对换xy位置，求定义域 。
求反函数的步骤：
1、利用反解方程，将x看成未知数，y看成已知数，解出x的值 。
2、将这个式子中的x，y兑换位置，就得到反函数的解析式 。
3、求反函数的定义域 。
反函数也是函数，一个函数与它的反函数互为反函数，并且它们的定义域、值域互换，对应法则互逆 。一个函数与它的反函数可以是两个不同的函数，也可以是同一个函数 。
反函数定义：
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f-1(x) 。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的） 。
如何反函数求导一、判断反函数是否存在：
由反函数存在定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同：
1、先判读这个函数是否为单调函数，若非单调函数，则其反函数不存在 。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D) 。如果对D中任意两点 x? 和 x? ，当 x?y?，则称 y=f(x) 在D上严格单调递减 。
2、再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致；
满足以上条件即反函数存在 。
二、具体求法：
例如 求 y=x^2 的反函数 。
x=±根号y，则 f(x) 的反函数是正负根号 x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域 。
扩展资料：
反函数存在定理
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同 。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性 。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D) 。如果对D中任意两点x1和x2，当x1y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减 。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y 。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'x，都有y''>y 。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1 。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1 若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1 因此x1 如果f在D上严格单减，证明类似 。
反函数的求解方法求反函数的一般步骤如下：
1、从原函数式子中解出x用y表示 。
2、对换x，y 。
3、标明反函数的定义域 。
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f﹣(x)。反函数y=f ﹣(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域 。

如何反函数求导，反函数的9种方法

文章插图
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣1（x） 。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的） 。注意：上标"?1"指的并不是幂 。
反函数存在定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同 。
反函数的性质：
（1）函数f(x)与它的反函数图象关于y=x直线对称 。
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射 。

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