【数学漫步:tanx的导数是什么?你知道它是怎么来的吗?】tanx的导数是(secx)^2,即正切的导数是割线的平方 。我们可以尝试用导数的定义公式,或者借用商的求导公式来求这个导数 。
先试试用导数f \'(x)= LIM(h-> 0)((f(x+h)-f(x))/h)的定义公式,因此(tanx)\' = LIM(h-> 0)((tan(x+h)-tanx)/h)= LIM(h-> 0)((tanx+tanh)/(1-tanx tanh)-tanx)/h)= LIM(h-)= LIM(h-> 0)(((tanh+(tanx)2 tanh))/(h(1-tanx tanx这里,应用lim(h->0)(tanh/h)=1,可以得到(tanx)\' = LIM (h->)
以上是利用导数的定义公式求切线的导函数的过程,比较复杂 。所以这种方法一般不用来求tanx的导数,而是用商的导数公式来求这个导函数 。
商的导数的公式是:当函数u(x)和v(x)都可导且v(x)不等于0时,导数(u(x)/v(x))\' =(u \'(x)v(x)u(x))/(u(x)即分数的导数(即商),分母的平方为导数的分母,分子的导数乘以分母减去分母的导数再乘以分子为导数 。
因为tanx=sinx/cosx符合商的概念,所以tanx的导数就是正弦和余弦的商的导数 。分母cosx的平方为导数的分母,分子sinx的导数乘以分母cosx,即cosx的平方,减去分母cosx -sinx的导数乘以分子sinx,即减去-sinx的平方,从而为导数的分子 。分子=(cosx)2-(-(sinx)2)=(cosx)2+(sinx)2 = 1 。所以tanx的导数等于1/(cosx) 2 = (secx) 2 。
显然,利用商的求导公式更容易求出tanx的导数,但不要因此而忽略了第一种方法 。在学习数学中,你应该尽力掌握任何方法 。就像吃饭一样 。不能挑食,这样才能充分吸收数学的营养 。
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