昨天上午在给六年级学生辅导数学作业时 ， 我的一个学生带着一种神秘而疑惑的神情问了我一个问题：“老师 ， 一平方千米等于多少平方米？” 然后期待着我给出的答案 。
我随即就告诉了他我的答案（各位读者 ， 你们认为是多少呢？）他应该是印证了学校老师的答案和我的答案是一致的 ， 一脸欣欣然的样子 。但同时我也看出了他脸上所表露出来的疑惑 ， 应该是没有明白为什么会是这样一个答案 。
我虽然没有直接问他 ， 对于这样一个单位换算的题 ， 他最初是怎么想的 。（我应该是要问一问他 ， 但不知为啥没有问 ， 而是转而直接跟他解释起来 ， 现在想想 ， 应该要先问问他 ， 能更清楚地知道他的想法 。当时讲得也有点快且乱 ， 所以今天想用文本加图片的形式详细讲一讲这个问题 ， 下次直接拿给学生看 ， 应该更一目了然 。）
【一平方千米等于多少平方米】
但我大概能猜测出来 ， 他的想法 ， 我想他一定认为1平方千米=100平方米 ， 因为他记得平方厘米 ， 平方分米 ， 平方米之间的进率都是100 ， 所以他想当然的认为平方千米与平方米之间的进率也是100 。但他同时又忽略了另一个他知道的常识：1千米=1000米 。1厘米 ， 1分米 ， 1米这三个长度单位之间的进率是10 ， 自然面积单位1平方厘米 ， 1平方分米 ， 1平方米之间的进率就是100 。可是1千米=1000米 ， 还能用平常那个进率为100的想法吗？
如果真是这样认为的 ， 只能说明大多数学生在数学学习时 ， 用的是记忆 ， 而不是理解后的推理思维 。下面我想用我的方式细细讲解一下 。如何在理解之后 ， 进行推理 ， 而不是死记硬背地做数学题目 。
首先我们看一张图：
上图中有3个单位 ， 分别是长度单位 ， 面积单位 ， 体积单位, 以常用的单位厘米来举例 。图片中 ， 从左到右依次是：
1厘米是长度单位 ， 是一维的 。直直的一条线而已 。
1平方厘米是面积单位 ， 是二维的 。
从图形的角度来说 ， 平铺开 ， 且方方的 ， 说白了平方其实就是正方形 。
1立方厘米是体积单位 ， 是三维的 。
从平面到立起来 ， 方方的 ， 说白了立方其实就是正方体 。
今天重点说“平方” ， 为什么学生会出现上面我所讲的疑惑 ， 我想根本原因在于他不理解什么是平方 ， 他的脑海中没有把平方图形化成正方形 。
正方形可以随着边长的长短 ， 可大可小 。如果把正方形标准化 ， 数量化 ， 就会有形形色色的表达 。
边长为1厘米的正方形 或是 面积为1平方厘米的正方形
边长为2厘米的正方形 或是 面积为4平方厘米的正方形
边长为3厘米的正方形 或是 面积为9平方厘米的正方形
等等 ， 无数个大大小小的正方形 。
通过以下图形 ， 应该能更好地明白：
（也能明白面积公式为什么是边长*边长 ， 如果以1平方厘米为标准 ， 那么其它相对大的正方形的面积 ， 其实就是看能分割出有多少个1平方厘米的正方形 。）：
大多数学生都知道1分米=10厘米 ， 1平方分米=100平方厘米 ， 上图一目了然 ， 我们应该常常以图形的形式 ， 经常让孩子自己多动手画画图 ， 把文字 ， 数字 ， 算式多用简化的图形来呈现 ， 以期让孩子逐渐形成数形结合的思维 。正是因为长期缺乏这个动作 ， 所以很多学生不能产生这样的直觉的图形联想 。
1平方厘米 ， 是边长为1厘米的正方形
1平方分米 ， 是边长为10厘米的正方形 ， 也可以说是边长为1分米的正方形
以此类推 ， 1平方米 ， 可以说成是边长为100厘米的正方形 ， 也可以说成是边长为10分米的正方形 ， 边长为1米的正方形 。
所以就有1平方米=10分米*10分米=100平方分米
(你可以想象1平方米的正方形被分割成了100个整齐排列的1平方分米的正方形)
1平方米=100厘米*100厘米=10000平方厘米
（你可以想象1平方米的正方形被分割成了10000个整齐排列的1平方厘米的正方形）
当学生问我一平方千米等于多少平方米的时候？你们知道我在想什么吗？我是如何快速告诉他我的答案的呢？难道你们以为我在背数学公式？其实我就是在进行图形化联想 ， 然后做个简单的乘法算式 ， 就得出了答案 。
那么一平方千米呢？是个什么样的正方形呢？它的边长是多少呢？一千米等于多少米 ， 这个问题学生们普遍都知道 ， 但是为什么会不知道一平方千米等于多少平方米？
我想主要的原因有：
- 对于“平方”的理解不到位 ， 只是知道有平方这个词 ， 而不知字面下的深意 。
数字 ， 符号 ， 算式 图形转化思维不够 。等等方方面面的原因 。
那么 ， 你们现在知道1平方千米=（ ）平方米了吗？
再加一个生活中的面积单位考考各位：1公顷=（ ）平方米呢？（与土地打交道的人应该很清楚这个问题）1公顷是个什么样的正方形呢？如果你知道1公顷的正方形边长是多少米？那么自然很快就能推演出1公顷=（ ）平方米 。
我们需要形象理解后 ， 再逻辑推理 ， 数学更多的时候应该这样学习 。
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