等式
一.方程式:
1.概念:表示等式关系的公式称为等式(即包含等号的公式) 。
2.性质:(1)如果等式两边加或减相同的数，结果仍然是等式；
(2)等式两边同时乘以或除以不等于0的同一个数 。结果还是一个等式 。
3.方程和方程的关系:方程一定是方程，方程不一定是方程 。方程范围；方程式范围
第二，等式:
1.定义:有未知数的方程是方程 。
2.解方程:在方程中求未知量的过程叫做解方程(“解”) 。
注意:(1)解完方程记得检查 。
(2)方程的解:
3.列举方程解决实际问题:(“求解”与“设定”)
(1)一般步骤(1)审题，找出关键信息；
(2)根据关键信息找到数量关系；
(3)根据定量关系求解方程；
(4)检查结果为已知信息 。
(2)主要依据
(1)常用数量关系:单价×数量=总价 。
速度×时间-距离(可以用线图找到等价关系然后解题 。)
工作效率×工作时间=工作总量
(2)平面图形的计算公式:正方形周长=边长×4；平方面积=边长×边长
矩形的周长=(长和宽)×2；矩形面积=长度x宽度
平行四边形的周长=(长和宽)×2；平行四边形面积=底x高
三角形面积=底×高÷2；梯形面积=(上底和下底)×高度÷2
(3)
几倍多（少）几的问题：先确认一倍量是已知还是未知，若未知，顺着
一次量×多(少)几倍=比较量 。这个关系式很容易解出 。
和（差）倍的问题：一般设“1份”（或一倍量）为x，另一个是它的几倍
对于“几个”x，按其加减(和或差)列出方程式 。
注意（1）解方程要写“解”；
(2)用一系列方程解决实际问题时，写出“解”和“设定”
(3)三个连续自然数(或连续奇数、连续偶数)之和等于中间数的3倍 。
折线图
分类:单折线统计图(优点:便于观察事物的数量和增减 。)
多折统计图(优点:便于观察两组数据的大小关系和数据的增减情况 。)
绘画:描点，标数据，连线，写日期 。
因数和倍数
一.定义:
概念:在整数除法中，如果商是整数，没有余数，我们说被除数是除数和商的倍数，它们是被除数的因子 。
定义:如果2×5=10，说5和5都是10的因数，10是2和5的倍数 。
注意:
(1)因子和倍数是相互依存的，不能说10是倍数，5是因子；
(2)为方便起见，我们在研究因子与倍数的关系时，所提到的数字都是指自然数(一般不包括0) 。
(3)求一个数的因子的方法是:列除法或乘法；(从小)
(4)一个数的因子个数是有限的，最小的因子是1，最大的因子是它本身；
(5)求一个数的倍数的方法:列乘法；(从小到大枚举)
(6)倍数的个数是无限的，最小的倍数就是它本身，不存在最大的倍数 。
二、二、三和五的倍数
1、2的倍数的特征:0、2、4、6、8这些数都是2的倍数 。
注:是2的倍数的数称为偶数，不是2的倍数的数称为奇数 。
0是最小的偶数 。
2和5的倍数的特点:个位数是0，5的数字都是5的倍数 。
注:一位数为0的数字都是2和5的倍数 。
3.3的倍数的特征:每个数位上的数之和是3的倍数，所以这个数是3的倍数 。
注:求满足多个条件的倍数，先看2和5，再看3 。
练习:有三个数字，0，6，9，按要求组成两位数 。
和积的奇偶性
整数的和与积的奇偶性
100以内的质数
思考:如果让你找出100以内的质数，你会如何一步步缩小范围？
质数和合数
一.定义:
质数：只有1和它本身两个因数，像这样的数就叫做质数 。
{ 100以内的质数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，.
如何判断一个数是否是质数：用试除法判断一个自然数a是不是质数，用从小到大的各个质数依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，则可以断定a必然是质数 。合数：除了1和它本身还有别的因数，像这样的数就叫做合数 。质因数：如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数 。
注意:(1)1既不是质数，也不是合数；但它是一个任意整数的素数 。
(2)2是最小的素数，2是唯一的偶数素数；(区分偶素数和奇素数)
(3)4是最小的合数；
(4)5是唯一的5位数质数；
(5)100以内有25个质数，74个合数 。
(6)两个不同素数之和为奇数，其中一个素数必须为2(根据和的奇偶性)
(7)两个不同素数之和为偶数，两个素数都为奇数 。
(8)三个不同素数之和为偶数 。这三个数必须是2和两个奇素数 。
(9)10以内的质数只能是1，3，7，9 。
(10)绝对质数:一个两位数的质数，一位数和十位数交换后仍是质数 。
(例如:11，13，31，17，71，37，73，79，97)
分解质因数:将一个合数分解成几个质因数连续相乘的形式 。
注意:(1)分解到所有因子都是质数；
(2)一个数分解素因子的结果是唯一的；
(3)最后的结果要写成质因数的指数相乘的形式(2，指数为3，表示三个2相乘) 。
2.方法:(1)逐次法(2)短除法 。
注意:(1)先把要分解的数写在短除法符号“∟”里；
(2)在素数表中从小到大尝试，直到商为素数；
(3)最后，以连续乘法的形式写出每个除数和最后的商 。
3.题型:用已知产品反推原数 。
(1)首先求解整数素数因子；(2)用质因数来补因数 。
公因子
一、定义:公因数:几个数的公因数，其中最大的称为最大公因数 。
二 。表示法:一般两个数A和B的最大公因数记为(A，B)，例如，(12，8)=6 。
三、寻找最大公因数的方法:
【知道一个数的因数和求这个数 什么是质因数】(1)短除法:用短除法求最大公因式，最后除到两个数是质数 。短除法符号左边的所有数相乘得到最大公因数，短除法的后两个商必须是质数 。
注:(1)公因数只有两个1的非零自然数，称为互质数 。
(2)a和B都是素数，A < B，那么它们的最大公因数是A，最小公倍数是A×B；
判断两个数互质的方法:
(1)两个不同的素数一定是互质数；
(2)两个相邻的自然数必须是质数；
(3)如果一个素数不能被另一个合数整除，这两个数就是互质数；例如3和10、5和26；
(4)1既不是质数，也不是合数 。它是任意自然数的互质数 。
(2)枚举法:该方法用于求两个一般关系数之间的最大公因数 。
四 。注意:
(1)1是所有非零自然数的公因数 。
(2)两个数的公因数是它们的最大公因数的因子；
(3)多重关系的两个数的最大公因数是这两个数中较小的一个；
(4)两个数是质数，最大公因数是1；
(5)众所周知，求被除数的除数就是求公因数，
要问什么是最大，就是要找到最大公因数(最大，最大) 。
公倍
1.定义:几个数的公倍数，其中最小的称为最小公倍数 。
2.表达式:A和B的最小公倍数记为[a，b]
3.注意:
(1)两个数的公倍数是其最小公倍数的倍数；
(2)倍数关系的两个数，最小公倍数是这两个数中较大的一个 。
(3)两个数是质数，最小公倍数是这两个数的乘积 。
(4)用短除法求最小公倍数，最后除法直到两个数是质数 。除了短符号以外的所有数字的最小公倍数 。
(5)当被除数未知时，通常求公倍数 。(最低，最低，至少)
分数的意义和性质
定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作“分数” 。表示其中 一份的数，叫作分数单位 。、
单位“1”:一个物体，一个计量单位，或者一个整群，都可以用一个自然数1来表示，通常称为单位“1” 。(单位“1”通常后跟“占用”或“是”)
分数表示两个同类数量的关系，或部分与整体的关系 。分数后面有单位，表示具体的数量；没有单位，表示分率 。分数与除法的关系：两个数相除也可以用分数表示 。被除数相当于分子，除数相当于分母 。a÷b= (b≠0)
除法和分数的关系
应用(1)求另一个数的分数，用除法计算 。(表示除以分数的商)
方法:用“战”字前面的数字除以后面的数字，写出分数 。
(2)分数和小数的转换和比较 。
2.分类
(1)真分数:分子(分母)的分数 。
(2)假分数:分子≥分母的分数(包括分数和1)
带分数:由非零整数和真分数组成的数，是假分数的另一种表示 。
注意：（1） 带分数的分数部分都是真分数 。
(2)比较大小:0%真分% 1 ≤假分 。
标记与虚假标记的相互转化 。
(1)虚假分数与分数:
用分数伪造分数
注意:余数为0时，可以变成整数 。
(2)用分数虚报分数:
分数错误分数
3.近似点和一般点
(1)基础:分数的基本性质:(类比除法中商的不变性)
分数的分子和分母同时被同一个数(0除外)相乘或相除，分数的大小不变 。
(乘法-拓展；相同除法-近似除法)
(2)近似:当一个分数等于它，并且它的分子和分母都比较小时，叫做近似 。
最简分数:分子和分母只有一个公因数1的分数叫做最简分数 。
注:大约在同一时间，它通常提供给最简单的分数 。
(将原分数的分子和分母直接除以分子和分母的最大公因数)
流程:
还原过程
方法:定额法 。
(3)综合得分:将分母不同的分数(也称分母不同的分数)换算成与原分数相等的分母相同的分数，称为综合得分 。
公分母:相同的分母称为公分母 。
注:一般情况下，原分母的最小公倍数作为公分母 。
(D)申请分数比较规模
(1)与分母的分子分数相比:分子越大的分数越大；
(2)不同分母分数比较:共同分子:分子相同分母小的分数较大；
公分母:分母相同，分子越大的分数越大 。
注意：通分子一般适用于分母较大，且不易通分时 。
四 。分数和小数之间的转换:
1.分数小数:利用分数和除法的关系，把分数写成除法公式，然后进行计算，除了小数没有按要求保留 。(分子除以分母，将分数转换成除法公式，计算商；)
2.抽取分数:一个小数代表十分之几，两个小数代表百分之几，三个小数代表千分之几……那就简化 。(Decimation to fraction:小数位数，一位小数，分母为10；两位小数，分母是100…)
注:小数之后，近似分数将是最简单的分数 。
常见的分数和小数:
的常见小数
分数的加法和减法
I .分母相同的分数的加法和减法:
方法:分母相同，分子加减 。
注意:结果是最简单的分数 。
二、不同分母分数的加法和减法:
方法:先通过分数，再根据同分母分数的加减计算 。
注意:结果必须发送到最简单的分数 。
三个或三个以上不同分母分数的加减运算:先除两个分数，再除第三个分数；三个分数同时通过点也是可能的，方法和求两个分数的公分母一样 。
带分数加、减法：
方法:用分数加减，分别加减整数部分和分数部分，然后合并结果 。
分数基本性质的应用1
分数基本性质的应用2
分数加减法混合运算分数加减法运算顺序：无括号时，按照从左向右的顺序计算；有括号时，先算括号内，再算括号外 。分数简便运算：
原理:利用加减法进行简单计算(先求同分母分数，再用运算法则 。)
利用加法交换律和结合律进行凑整巧算；（把分母相同的分数先进行加减法计算）整数、小数中去括号的规则在分数中同样适用 。利用添、去括号巧算 。利用连减性质凑整计算；（带符号搬家和连减性质）利用加法交换律和加法结合律进行分组凑整计算
4.分数和小数的混合运算:如果分数可以转化为有限小数，通常把分数计算成小数更容易；如果分数不能化为有限小数，则小数应化为分量数，然后计算 。
分数的应用
对圆的理解
一、圈子的概念
1.圆的定义:
(1)在同一平面上，到一个定点的距离等于一个固定长度的点的集合称为圆 。这个固定点叫做圆心 。
(2)当一条线段在平面上绕其一个端点旋转一周时，其另一个端点的轨迹称为圆 。
2.圆的形状特征(或性质):
圆是平面轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线（或直径所在的直线）；圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 。圆由曲线组成，没有顶点 。（其他多边形由线段组成，有顶点）
3.画圆:
画圆时，先设定针尖与笔尖的距离(即圆的半径)，将针尖固定在一点(圆心O)，笔尖转动一次，完成一个圆 。
4.圆圈的组成:
圆的组成
5.圈子的影响因素:
定位：圆心大小或尺寸：半径或直径
6.圆的计算
圆的计算
公共π值
周长的计算：
(1)半圆的周长=圆周直径的一半 。
(2)不规则图形的周长:
确定组成：先确定周长由几条曲线或线段组成；分解或组合：再通过分解或组合计算：应用圆的周长公式计算出结果 。线捆等圆问题：周长的组成一定都包含一个圆 。注意：几个等圆必须依次紧密捆在一起 。
奥林匹克内容
面积的计算:已知半径或直径求面积：直接代入公式；已知周长求面积：先求出半径，再求面积；求扇形的面积：求出扇形所在圆的面积，再看扇形面积是圆面积的几分之几，从而求出扇形的面积 。
圆的面积=圆的面积÷2
圆的面积÷4
圆的面积÷4×3
不规则图形的面积：利用割补法，将图形拆分、重组，转化为规则图形求解 。圆环、半圆环、扇环
圆环的相关面积公式
求阴影部分面积：整体减空白求面积：割补法求面积
7.圆的相关概念
与圆相关的概念和计算
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