为什么正多面体只有5种

为什么正多面体只有5种
1、证明：设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即Nf=2E（1式）。同时， E应是V（顶点数）与M的积的一半，即mV=2E（2式）。由1式、2式，得， F=2E/n,V=2E/m ，代入欧拉公式V+F-E=2 ，有2E/m+2E/n-E=2整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E 。
2、由于E是正整数，所以1/E>0 。因此1/m+1/n>1/2（3式）， 3式说明m,n不能同是大于3 ，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知， m>=3且n>=3 。因此m和n至少有一个等于3 。
3、当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3 ， 4 ， 5 。
4、同理n=3 ， m也只能是3 ， 4 ， 5 ，所以nm类型， 33正四面体， 43正六面体， 34正八面体， 53正十二面体， 35正二十面体，由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体，所以正多面体只有5种。
正多面体有几种正多面体
的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体
、正六面体、正八面体、正十二面体
、正二十面体五种。
证明
顶点数V ，面数F ，棱数E
设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱），即
nF=2E -------------- ①
同时， E应是顶点数V与m的积的一半，即
mV=2E -------------- ②
由①、② ，得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2 ，
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数
，所以1/E>0 。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- ③
说明m,n不能同时大于3 ，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知， m≥3且n≥3 。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3 ， 4 ， 5
同理n=3 ， m也只能是3 ， 4 ， 5
所以有以下几种情况：
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种
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