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几何体的表面积定义 什么是表面积

生活经验知识分享


一．概念描述
现代数学：往《数学辞海·第一卷》 一书中没有表面积的明确定义 ， 但是有“全面积” 一说 ， 即刻画表面积大小的数量及其计算公式 。
棱柱、棱锥、棱台的全面积都是指：刻画其表面积大小的一个数量及其计算方法 。它们全面积的计算方法就是其侧面积与底面积的和 。
圆柱的全面积是刻画圆柱表面积大小的一个数量及其计算公式 。直圆柱的侧面积与底面积的和为它的全面积 。如果直圆柱的底面半径为r ， 高为h ， 那么它的全面积为S=2πr(h+r) 。斜圆柱的侧面积和它的两底椭圆面积的和是它的全面积 。设母线长为l ， 直截面圆周长为C ， 底面椭圆的长短半轴为a、b ， 斜圆柱全面积为S=Cl+2πab 。
圆锥的全面积是刻画圆锥表面积大小的一个数量及其计算公式 。圆锥的全面积等于它的侧面积与底面积的和 ， 其计算公式为S=πr(l+r) 。
圆台的全面积是刻画圆台表面积大小的一个数量及其计算公式 。圆台的全面积等于它的侧面积与两底面积的和 ， 所以S=π(rl+r’l+r2+r’2) 。其中 ， l是圆台母线的长 ， r’和r分别是圆台上、下底面圆的半径 。
小学数学：所有立体图形所能触摸到的面的面积之和 ， 是这个图形的表面积 。在小学阶段 ， 我们学习的长方体和正方体的表面积 ， 就是指它们6个面的面积之和 。圆柱的表面积就是指它的侧面积和两个底面积之和 。圆锥的表面积小学不做研究 。
【几何体的表面积定义 什么是表面积】 二．概念解读
小学阶段所涉及的长方体、正方体、圆柱的表面积其实都是它们的底面积和侧面积之和 。当我们沿着高将长方体、正方体、圆柱的侧面展开 ， 就会发现它们的侧面展开后都是一个长方形 ， 因此 ， 表面积就是学生已经学习过的长方形、正方形、圆形等几个平面图形面积的组合 。
要说明的是 ， 我们在这里所提到的表面积 ， 是指在理想状态下 ， 可以触摸到立体图形的每一个面 ， 求出各个面的面积之和 。
在小学教材中 ， 还有一些内容 ， 如磁带盒（或者是火柴盒、香皂盒）的包装问题、纸箱问题等 。这些问题都不是在求一个立体图形真正的表面积 ， 而是对表面积的拓展应用 。
例如 ， 有4盒完全相同的长方体录音带 ， 用哪种方式包装最省料？（如下图）
又如纸箱问题：把长50厘米、宽30厘米、高20厘米的水果箱（如下图中的左图）的上、下盖打开后是个长方体纸筒（如下图中的右图） ， 做这个水果箱至少需要多少纸板？
三．教学建议
在对表面积的研究中 ， 产生了许多优秀的教学案例 。关于长方体、正方体以及圆柱的表面积可以采取相同的教学思路 ， 下面以长正方体表面积为例提供以下几种教学设计作为参考：
(1)“包装式”的教学设计
首先 ， 教师要引导学生思考为立体图形穿上鲜艳的外衣（可以是涂色 ， 也可以是贴彩纸） ， 这件外衣怎么穿？在这个过程中 ， 学生会主动说明要想穿上鲜艳的外衣 ， 需要把立体图形的哪几个面进行包装 。教师再引导学生观察、发现：它们刚好在立体图形的表面 ， 是这几个面围成了这个立体图形 ， 从而使学生认识到 ， 这几个面就是立体图形的表面 ， 它们的大小就是这个立体图形的表面积 。
(2)“化立体为平面”的教学设计
人教版、北师大版、北京版等各种版本的教材中 ， 都增加了“立体图形的展开图”这个教学内容 。立体图形的平面展开图有利于学生空间观念的发展 ， 能够帮助学生在三维与二维的相互转化中理解立体图形表面枳 。课前 ， 教师可以让学生准备好所需的立体图形；课中 ， 引导学生沿着立体图形的棱剪开 ， 将立体图形转化为平面图形 。引导学生观察平面展开图 ， 学生就会发现：是这些展开后的平面图形围成了立体图形 。这些平面图形都是已经学过的几何图形 ， 计算这些平面图形的面积之和就可以得到立体图形的表面积 。
(3)“化平面为立体”的教学设计
除了以上提到的两种设汁 ， 教师还可以采取做模型的方式进行教学 。教师可为学生提供一些纸板 ， 然后提出一起来做个长方体（正方体或圆柱）模型 。在做的过程中 ， 学生会通过自己的实践操作发现 ， 做一个长方体 ， 只要准备好数据合适的6个长方形就可以了 ， 再把这6个长方形按一定的方式用透明胶带围成一个长方体 。学生在思考数据、动手剪长方形、利用胶带围长方体的这个过程中 ， 对立体图形的表面已经有了充分的认识 。学生在自己动手操作的过程中 ， 非常清晰地认识到长方体表面的每一个面都是长（正）方形 ， 在计算所需纸板的总面积时只需计算这几个长（正）方形的面积总和就可以了 ， 也就是这个长方体的表面积 。
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