高等数学第一章函数极限与连续

1、集合（集合，区间与邻域）
集合：一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总称为集合，组成集合的事物或对象成为该集合的元素。
一个集合，如果含有有限个元素，则称为有限集，如果含有无限个元素，则称为无限集；
如果不含有任何元素，则称为空集，记作? 。
集合的表示方法通常有两种：列举法、描述法。
非负整数集（自然数集）：N；正整数集：N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R
区间：常见的实数集是区间：开区间，半开半闭区间，闭区间，无穷区间
邻域：设δ为某个正数，称开区间（X0-δ ， X0+δ）为点X0的δ邻域，简称点X0的邻域，记作（X0 ， δ）点X0成为邻域的中心， δ称为邻域的半径；
去中心之后成为点X0的去心邻域，分为左邻域和右邻域。
2、函数（定义，表示，性质，反函数/隐函数，复合/分段函数，初等函数）
定义：设x ， y是两个变量， D是给定的数集，如果对于每个x∈D ，通过对应法则f ，有唯一确定的y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）。其中x是自变量， y是因变量， D是定义域，全体的函数值f（x）称为函数的值域，记作Rf ，即Rf={y|y=f（x）} ，函数的记号可以任意选取。确定函数的两要素：定义域和对应关系。
多值函数：一个自变量x通过法则f有确定的y与之对应， y值不唯一。
函数的性质：
（1）函数的有界性：若存在常数M>0 ，使得每一个x属于I ，有|f（x）|≤M ，则称函数f（x）在区域I上有界。
（2）函数的单调性：单调递增或者单调递减。
（3）函数的奇偶性：f（x）=f（-x）偶函数；f（x）=-f（-x）奇函数。
（4）函数的周期性f（x±l）=f（x），所有正周期中存在一个最小的正数称为最小正周期。
反函数：y=f（x）的反函数为y=f-1（x）。性质：同增同减，关于直线y=x对称。
【高等数学第一章函数极限与连续】复合函数：设y=f（u）， u∈Df ，函数u=g（x）， x∈Dg ，值域Rg含于Df ，则y=f[g（x）]称为由y=f（u）， u=g（x）复合而成的复合函数， u为中间变量。
基本初等函数（六种）：
常数函数：y=C（C为常数）；幂函数：y=xa（a≠0）；
指数函数：y=ax（a＞0且a≠1）；对数函数：y=logax（a＞0且a≠1）；
三角函数：y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=cscx；
反三角函数：y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx 。
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数。
3、数列极限（概念，性质）极限存在的两个准则
定义1：按照一定法则，使得任何一个正整数n对应一个确定的数an ，那么，我们称这列有次序的数为数列，数列中的每一个数叫做数列的项，第n项an称为数列的一般项或通项。
数列值an随着n变化而变化，因此可以把数列{an}看成自变量为正整数n的函数，即an=f（n）， n∈N+ 。数列{an}对应数轴上的一个点列，可看作一动点在数轴上一次取a1 ， a2 ， a3 ， a... 。

高等数学第一章函数极限与连续

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