另一种情况是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a,都不能恰好量尽（如用圆的直径去量同一圆的周长） 。在这种情况下，就需要引进一种新的数-无理数 。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商 。为了使除法运算总可以施行，也需要引进新的一种数-分数 。
综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的 。
由来
说分数的历史，得从3000多年前的埃及说起 。
【分数线是哪个国家发明的，分数线是阿拉伯人发明的吗】3000多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数 。2000多年前，中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式不一样 。印度出现了和我国相似的分数表示法 。再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来 。
200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是7/3米．像7/3就是一种新的数，我们把它叫做分数 。
名称
分数
为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征 。例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身分数的产生
分数的产生经历了一个漫长的过程 。开始人们只使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数 。
大约在2000年前，古希腊人已经开始用分子和分母表示分数 。分数在我国很早就有了，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的 。当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式 。
继中国的筹算分数之后，又过了五六百年的时间，印度才出现了有关分数理论的论述 。印度人记录分数的形式与我国古代的筹算分数是一样的，只不过使用的是阿拉伯数字 。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法就成为现在这样了 。简单的说就是，实际生活中，人们在进行测量和计算时往往不能得到整数的结果，为了适应这种实际的需要，于是人们就发明创造了分数 。分数就是这样产生的 。
最早使用分数的是我国，我国古代有许多关于分数的记载 。如：在《左传》一书中记载，春秋时代，诸侯的城池，最大不超过周国的1/3，中等的不超过1/5，小的不得超过1/9；秦始皇时期，拟定了一年的天数为365又1/4天；《九章算术》是我国古代的一本专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法 。古代分数用“1/111”表示1/3 。
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