这三个问题过了30年都没有解决 ， 不过希尔伯特很有信心 ， 认为答案一定是“是 ， ”并且还断言“不存在不可解的问题 。”
然而他的乐观断言并没有维持太久 。可以说非常短命 。因为就在希尔伯特做出上述断言的同一次会议中 ， 一位25岁的数学家宣布了对不完备性定理的证明 ， 他的发现震惊了整个数学界 ， 这位年轻人名叫哥德尔（Kurt Gdel） 。不完备性定理说的是 ， 如果上面的问题2的答案是“是”（即数学是一致的） ， 那么问题1（数学是不是完备的）的答案就必须是“否 。”
哥德尔 ， 1906-1978
（照片由普林斯顿大学图书馆提供）
哥德尔的不完备性定理是从算术着手 。他证明 ， 如果算术是一致的 ， 那么在算术中必然存在无法被证明的真命题——也就是说 ， 算术是不完备的 。而如果算术是不一致的 ， 那么就会存在能被证明的假命题 ， 这样整个数学都会崩塌 。
哥德尔的证明很复杂 。不过直观上却很容易解释 。哥德尔给出了一个数学命题 ， 翻译成白话就是“这个命题是不可证的 。”
仔细思考一下 。这个命题很奇怪 ， 它居然谈论的是它自身——事实上 ， 它说的是它不可证 。我们姑且称它为“命题A 。”现在假设命题A可证 。那么这样它就为假（因为它说它不可证） 。这就意味着证明了假命题——从而算术是不一致的 。好了 ， 那我们就假设它命题A不可证 。这就意味着命题A为真（因为它断言的就是自己不可证） ， 但这样就存在不可证的真命题——算术是不完备的 。因此 ， 算术要么不一致 ， 要么不完备 。
难以想象这个命题如何转换成用数学语言表述 ， 但是哥德尔做到了——哥德尔的证明的复杂和精彩之处就在此 ， 在这里我们不去讨论 。
绝大多数数学家和哲学家都坚定地认为希尔伯特问题能被正面解决 ， 这对他们是个沉重的打击 。就像数学作家霍吉斯（Andrew Hodges）说的：“这是在研究中惊人的转折 ， 因为希尔伯特曾以为他的计划将一统天下 。对于那些认为数学完美而且无懈可击的人来说 ， 这让人难以接受……”
◆ ◆ ◆图灵机和不可计算性
哥德尔干净利落地解决了希尔伯特第一和第二问题 ， 接着第三问题又被英国数学家图灵（Alan Turing）干掉了 。
图灵 ， 1912-1954
1935年 ， 图灵23岁 ， 在剑桥跟随逻辑学家纽曼（Max Newman）攻读研究生 。纽曼向图灵介绍了哥德尔刚刚得出的不完备性定理 。在理解哥德尔的结果之后 ， 图灵发现了该如何解决希尔伯特第三问题 ， 判定问题 ， 同样 ， 他的答案也是“否 。”
图灵是怎么证明的呢？前面说过 ， 判定问题问的是 ， 是不是有“明确程序”能判定任意命题是否可证？“明确程序”指的是什么呢？图灵的第一步就是定义这个概念 。沿着莱布尼茨在两个世纪以前的思路 ， 图灵通过构想一种强有力的运算机器来阐述他的定义 ， 这个机器不仅能进行算术运算 ， 也能操作符号 ， 这样就能证明数学命题 。通过思考人类如何计算 ， 他构造了一种假象的机器 ， 这种机器现在被称为图灵机 。图灵机后来成了电子计算机的蓝图 。
节选自《复杂》 湖南科学技术出版社
平均数的称霸之路
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